1 Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если: a) A (-3; −1), B (1; −1), C (1; −3), D(-3; −3);

а) A (-3; −1), B (1; −1), C (1; −3), D(-3; −3)

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно показать, что все его углы прямые, и что противоположные стороны равны.

1. Найдем длины сторон:

AB = $$\sqrt{(1 - (-3))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$

BC = $$\sqrt{(1 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$$

CD = $$\sqrt{(-3 - 1)^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$

DA = $$\sqrt{(-3 - (-3))^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + (2)^2} = \sqrt{4} = 2$$

Противоположные стороны равны: AB = CD = 4 и BC = DA = 2.

2. Проверим, что углы прямые. Для этого найдем векторы сторон и проверим, что их скалярное произведение равно 0.

Вектор AB = (1 - (-3), -1 - (-1)) = (4, 0)

Вектор BC = (1 - 1, -3 - (-1)) = (0, -2)

Вектор CD = (-3 - 1, -3 - (-3)) = (-4, 0)

Вектор DA = (-3 - (-3), -1 - (-3)) = (0, 2)

Скалярное произведение AB и BC: (4, 0) * (0, -2) = 4*0 + 0*(-2) = 0. Следовательно, угол B прямой.

Скалярное произведение BC и CD: (0, -2) * (-4, 0) = 0*(-4) + (-2)*0 = 0. Следовательно, угол C прямой.

Скалярное произведение CD и DA: (-4, 0) * (0, 2) = (-4)*0 + 0*2 = 0. Следовательно, угол D прямой.

Скалярное произведение DA и AB: (0, 2) * (4, 0) = 0*4 + 2*0 = 0. Следовательно, угол A прямой.

Так как все углы прямые, и противоположные стороны равны, то ABCD - прямоугольник.

3. Найдем площадь прямоугольника: S = AB * BC = 4 * 2 = 8

Ответ: S=8