950 Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: a) M (1; 1), N (6; 1), P (7; 4), Q (2; 4); б) М (-5; 1), N (-4; 4), P(-1; 5), Q (-2; 2).

а) M (1; 1), N (6; 1), P (7; 4), Q (2; 4)

Чтобы доказать, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны. Или что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1. Проверим параллельность и равенство противоположных сторон: MN = $$\sqrt{(6-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{25} = 5$$ QP = $$\sqrt{(7-2)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{25} = 5$$ MQ = $$\sqrt{(2-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$$ NP = $$\sqrt{(7-6)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$$

Противоположные стороны равны. Теперь нужно проверить, что они параллельны. Вектор MN = (6-1, 1-1) = (5, 0) Вектор QP = (7-2, 4-4) = (5, 0) Вектор MQ = (2-1, 4-1) = (1, 3) Вектор NP = (7-6, 4-1) = (1, 3)

Так как векторы MN и QP равны, а векторы MQ и NP равны, значит, стороны параллельны. Следовательно, MNPQ - параллелограмм.

2. Найдем диагонали MP и NQ. MP = $$\sqrt{(7-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$ NQ = $$\sqrt{(2-6)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

б) М (-5; 1), N (-4; 4), P(-1; 5), Q (-2; 2)

1. Проверим параллельность и равенство противоположных сторон: MN = $$\sqrt{(-4-(-5))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$$ QP = $$\sqrt{(-1-(-2))^2 + (5-2)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$$ MQ = $$\sqrt{(-2-(-5))^2 + (2-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$$ NP = $$\sqrt{(-1-(-4))^2 + (5-4)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$$

Все стороны равны $$\sqrt{10}$$. Теперь нужно проверить, что они параллельны. Вектор MN = (-4-(-5), 4-1) = (1, 3) Вектор QP = (-1-(-2), 5-2) = (1, 3) Вектор MQ = (-2-(-5), 2-1) = (3, 1) Вектор NP = (-1-(-4), 5-4) = (3, 1)

Так как векторы MN и QP равны, а векторы MQ и NP равны, значит, стороны параллельны. Следовательно, MNPQ - параллелограмм (в данном случае ромб).

2. Найдем диагонали MP и NQ. MP = $$\sqrt{(-1-(-5))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ NQ = $$\sqrt{(-2-(-4))^2 + (2-4)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Ответ: а) MP = $$3\sqrt{5}$$, NQ = 5, б) MP = $$4\sqrt{2}$$, NQ = $$2\sqrt{2}$$