109 Докажите, что для любых целых a: а) a³ + 2a² + За либо делится на 4, либо при делении на 4 дает остаток 2; б) 2а³ + a² + 5а либо делится на 3, либо при делении на 3 дает остаток 2.

Для доказательства утверждений необходимо рассмотреть различные случаи значений a и показать, что при любом целом a выполняется одно из условий.

1. a) a³ + 2a² + За либо делится на 4, либо при делении на 4 дает остаток 2.

   Рассмотрим выражение a³ + 2a² + 3a и преобразуем его:

   a³ + 2a² + 3a = a(a² + 2a + 3)

   Если a четное, то a = 2k, где k - целое число.

   Тогда выражение примет вид:

   2k((2k)² + 2(2k) + 3) = 2k(4k² + 4k + 3) = 8k³ + 8k² + 6k = 2(4k³ + 4k² + 3k)

   Если k четное, то k = 2n, где n - целое число.

   2(4(2n)³ + 4(2n)² + 3(2n)) = 2(32n³ + 16n² + 6n) = 4(16n³ + 8n² + 3n)

   В этом случае выражение делится на 4.

   Если k нечетное, то k = 2n + 1, где n - целое число.

   2(4(2n+1)³ + 4(2n+1)² + 3(2n+1)) = 2(4(8n³+12n²+6n+1) + 4(4n²+4n+1) + 6n+3) = 2(32n³ + 48n² + 24n + 4 + 16n² + 16n + 4 + 6n + 3) = 2(32n³ + 64n² + 46n + 11) = 64n³ + 128n² + 92n + 22 = 4(16n³ + 32n² + 23n + 5) + 2

   В этом случае выражение дает остаток 2 при делении на 4.

   Если a нечетное, то a = 2k + 1, где k - целое число.

   (2k+1)((2k+1)² + 2(2k+1) + 3) = (2k+1)(4k² + 4k + 1 + 4k + 2 + 3) = (2k+1)(4k² + 8k + 6) = 8k³ + 16k² + 12k + 4k² + 8k + 6 = 8k³ + 20k² + 20k + 6 = 4(2k³ + 5k² + 5k + 1) + 2

   В этом случае выражение дает остаток 2 при делении на 4.

2. б) 2а³ + a² + 5а либо делится на 3, либо при делении на 3 дает остаток 2.

   Рассмотрим выражение 2a³ + a² + 5a и преобразуем его:

   2a³ + a² + 5a = a(2a² + a + 5)

   Если a = 3k, где k - целое число.

   Тогда выражение примет вид:

   3k(2(3k)² + 3k + 5) = 3k(18k² + 3k + 5) = 54k³ + 9k² + 15k = 3(18k³ + 3k² + 5k)

   В этом случае выражение делится на 3.

   Если a = 3k + 1, где k - целое число.

   (3k+1)(2(3k+1)² + (3k+1) + 5) = (3k+1)(2(9k²+6k+1) + 3k+1 + 5) = (3k+1)(18k²+12k+2 + 3k+6) = (3k+1)(18k²+15k+8) = 54k³ + 45k² + 24k + 18k² + 15k + 8 = 54k³ + 63k² + 39k + 8 = 3(18k³ + 21k² + 13k + 2) + 2

   В этом случае выражение дает остаток 2 при делении на 3.

   Если a = 3k + 2, где k - целое число.

   (3k+2)(2(3k+2)² + (3k+2) + 5) = (3k+2)(2(9k²+12k+4) + 3k+2 + 5) = (3k+2)(18k²+24k+8 + 3k+7) = (3k+2)(18k²+27k+15) = 54k³ + 81k² + 45k + 36k² + 54k + 30 = 54k³ + 117k² + 99k + 30 = 3(18k³ + 39k² + 33k + 10)

   В этом случае выражение делится на 3.

Ответ: Утверждения доказаны для любых целых a.