7) Докажите, что если биссектриса внешнего угла параллельна одной из его сторон, то этот треугольник - равнобедренный.

Решение:

• Пусть дан треугольник ABC, и биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна стороне AC.
• Обозначим внешний угол при вершине B как угол EBC, где E - точка на продолжении стороны AB за точку B. Тогда биссектриса BF угла EBC параллельна AC (BF || AC).
• Так как BF - биссектриса угла EBC, то угол EBF равен углу FBC (\(\angle EBF = \angle FBC\)).
• Поскольку BF || AC, угол FBC равен углу ACB как накрест лежащие углы при параллельных прямых BF и AC и секущей BC (\(\angle FBC = \angle ACB\)).
• Также, поскольку BF || AC, угол EBF равен углу BAC как соответственные углы при параллельных прямых BF и AC и секущей AB (\(\angle EBF = \angle BAC\)).
• Из равенств углов следует, что \(\angle BAC = \angle ACB\) (так как \(\angle EBF = \angle FBC\) и \(\angle FBC = \angle ACB\), \(\angle EBF = \angle BAC\)).
• В треугольнике ABC углы при основании AC равны, следовательно, треугольник ABC равнобедренный.