Докажите, что если два числа при делении на a имеют одинаковый остаток, то их разность делится на a.

Пусть даны два числа, x и y, которые при делении на a дают одинаковый остаток r. Тогда мы можем записать эти числа в виде:

$$ x = a \cdot k_1 + r$$ $$ y = a \cdot k_2 + r$$

где k₁ и k₂ — целые числа.

Найдем разность этих чисел:

$$ x - y = (a \cdot k_1 + r) - (a \cdot k_2 + r) = a \cdot k_1 + r - a \cdot k_2 - r = a \cdot k_1 - a \cdot k_2 = a(k_1 - k_2) $$

Так как k₁ и k₂ — целые числа, то их разность (k₁ - k₂) также является целым числом. Обозначим её как k:

$$ k = k_1 - k_2 $$

Тогда:

$$ x - y = a \cdot k $$

Это означает, что разность x - y делится на a, так как она является произведением a и целого числа k.

Ч.Т.Д.