1014 Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сфор- мулируйте и докажите обратное утверждение.

Пусть даны два коллинеарных вектора $$\vec{a} = (x_1; y_1)$$, $$\vec{b} = (x_2; y_2)$$. Тогда существует такое число k, что $$\vec{a} = k\vec{b}$$, т.е. $$(x_1; y_1) = k(x_2; y_2) = (kx_2; ky_2)$$. Из этого следует, что $$x_1 = kx_2$$ и $$y_1 = ky_2$$, то есть координаты одного вектора пропорциональны координатам другого.

Обратное утверждение: Если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, то векторы коллинеарны.

Доказательство: Пусть даны два вектора $$\vec{a} = (x_1; y_1)$$, $$\vec{b} = (x_2; y_2)$$ и существует такое число k, что $$x_1 = kx_2$$ и $$y_1 = ky_2$$. Тогда $$\vec{a} = (kx_2; ky_2) = k(x_2; y_2) = k\vec{b}$$, то есть векторы коллинеарны.

Ответ: Доказано.