591. Докажите, что многочлен х²+ y² + 1 при любых значениях х и у принимает положительные значения.

Докажем, что многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ принимает положительные значения при любых значениях x и y.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $$x^2 \ge 0$$ и $$y^2 \ge 0$$ для любых значений x и y.

Следовательно, сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна:

$$x^2 + y^2 \ge 0$$

Теперь добавим к этой сумме единицу:

$$x^2 + y^2 + 1 \ge 0 + 1$$

$$x^2 + y^2 + 1 \ge 1$$

Таким образом, многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ всегда больше или равен 1 при любых значениях x и y. Это означает, что он всегда принимает положительные значения.

Ответ: Многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ всегда принимает положительные значения при любых значениях x и y, что и требовалось доказать.