Докажите, что n(n+1)^2(n+2) делится на 12 (12 = 3 · 4).

Рассмотрим произведение \(n(n+1)^2(n+2)\).

Делимость на 3. Среди трёх последовательных чисел \(n\), \(n+1\), \(n+2\) одно обязательно делится на 3. Следовательно, всё произведение делится на 3.

Делимость на 4.

• Если \(n\) чётное, то оба числа \(n\) и \(n+2\) чётные. Их произведение делится на 4.
• Если \(n\) нечётное, то \(n+1\) чётное, поэтому \((n+1)^2\) делится на 4.

Таким образом, произведение делится и на 3, и на 4. Так как \(3\) и \(4\) взаимно просты, произведение делится на \(3\cdot4=12\).

Ответ: \(n(n+1)^2(n+2)\) делится на 12 при любом целом \(n\).