Доказательство отношения стороны треугольника к синусу противолежащего угла

Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Докажем, что $$rac{BC}{\sin A} = 2R$$, или $$BC = 2R \sin A$$.

Проведём диаметр BA₁ (рис. 333) и рассмотрим треугольник A₁BC (случай, когда точки A₁ и C совпадают, рассмотрите самостоятельно). Угол C этого треугольника прямой, поэтому $$BC = BA_1 \cdot \sin A_1$$. Но $$\sin A_1 = \sin A$$.

Действительно, если точка A₁ лежит на дуге BAC (рис. 333, α), то $$∠A_1=∠A$$, а если на дуге BDC (рис. 333, б), то $$∠A_1 = 180° - ∠A$$.

И в том, и в другом случае $$\sin A_1 = \sin A$$.

Следовательно, $$BC = BA_1 \cdot \sin A$$, или $$BC = 2R \sin A$$.