697 Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Докажем, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Пусть дан многоугольник, описанный около окружности радиуса r. Площадь многоугольника можно разбить на сумму площадей треугольников, основаниями которых являются стороны многоугольника, а высоты равны радиусу вписанной окружности.

Пусть стороны многоугольника a1, a2, ..., an. Тогда площадь многоугольника S равна:

$$S = \frac{1}{2}a_1r + \frac{1}{2}a_2r + ... + \frac{1}{2}a_nr = \frac{1}{2}r(a_1 + a_2 + ... + a_n)$$

Сумма длин сторон многоугольника есть его периметр P:

$$P = a_1 + a_2 + ... + a_n$$

Тогда площадь S многоугольника равна:

$$S = \frac{1}{2}rP$$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано