5. Докажите, что при любых значениях х выражение x²-16х+86 принимает положительные значения.

5. Докажем, что при любых значениях x выражение $$x^2 - 16x + 86$$ принимает положительные значения. Выделим полный квадрат: $$x^2 - 16x + 86 = x^2 - 16x + 64 + 22 = (x - 8)^2 + 22$$. Так как $$(x - 8)^2$$ всегда неотрицательно (квадрат любого числа больше или равен нулю), а 22 - положительное число, то $$(x - 8)^2 + 22$$ всегда больше 0. Следовательно, выражение $$x^2 - 16x + 86$$ всегда принимает положительные значения.