555. Докажите, что при n ∈ N значение выражения: а) 2^n + 2^(n + 1) + 2^(n + 3) кратно 11; б) 3^(n + 4) - 3^(n + 1) - 3^n кратно 77; в) 125 * 25^n - 5^(2n + 1) имеет три простых делителя; г) 7^(2n) * 7 + 49^n : 7 имеет три простых делителя.

а) Докажем, что $$2^n + 2^{n+1} + 2^{n+3}$$ кратно 11.

Вынесем общий множитель $$2^n$$ за скобки:

$$2^n + 2^{n+1} + 2^{n+3} = 2^n(1 + 2 + 2^3) = 2^n(1 + 2 + 8) = 2^n \cdot 11$$

Так как один из множителей равен 11, то выражение кратно 11.

б) Докажем, что $$3^{n+4} - 3^{n+1} - 3^n$$ кратно 77.

Вынесем общий множитель $$3^n$$ за скобки:

$$3^{n+4} - 3^{n+1} - 3^n = 3^n(3^4 - 3^1 - 1) = 3^n(81 - 3 - 1) = 3^n \cdot 77$$

Так как один из множителей равен 77, то выражение кратно 77.

в) Докажем, что $$125 \cdot 25^n - 5^{2n+1}$$ имеет три простых делителя.

Представим выражение в виде:

$$125 \cdot 25^n - 5^{2n+1} = 5^3 \cdot (5^2)^n - 5^{2n+1} = 5^3 \cdot 5^{2n} - 5^{2n+1} = 5^{2n+3} - 5^{2n+1}$$

Вынесем общий множитель $$5^{2n+1}$$ за скобки:

$$5^{2n+3} - 5^{2n+1} = 5^{2n+1}(5^2 - 1) = 5^{2n+1}(25 - 1) = 5^{2n+1} \cdot 24 = 5^{2n+1} \cdot 2^3 \cdot 3$$

Выражение имеет три простых делителя: 2, 3, 5.

г) Докажем, что $$\frac{7^{2n} \cdot 7 + 49^n}{7}$$ имеет три простых делителя.

Представим выражение в виде:

$$\frac{7^{2n} \cdot 7 + 49^n}{7} = \frac{7^{2n+1} + (7^2)^n}{7} = \frac{7^{2n+1} + 7^{2n}}{7} = \frac{7^{2n} \cdot 7 + 7^{2n}}{7}$$

Вынесем общий множитель $$7^{2n}$$ за скобки:

$$\frac{7^{2n} (7 + 1)}{7} = \frac{7^{2n} \cdot 8}{7} = \frac{7^{2n} \cdot 2^3}{7} = 7^{2n-1} \cdot 2^3$$

При n = 1 выражение равно $$7 \cdot 8 = 7 \cdot 2^3$$

Выражение имеет два простых делителя: 2, 7.