555. Докажите, что при п е № значение выражения: а) 2" + 2n+1 + 2"+3 кратно 11; б) 3+43+1 - 3" кратно 77; в) 125. 25" - 52n+1 имеет три простых делителя; г) 72.7 + 49" : 7 имеет три простых делителя.

Давай докажем, что данные выражения кратны указанным числам или имеют три простых делителя. а) \( 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+3} = 2^n(1 + 2 + 2^3) = 2^n(1 + 2 + 8) = 2^n \cdot 11 \). Значит, выражение кратно 11. б) \( 3^{n+4} - 3^{n+1} - 3^n = 3^n(3^4 - 3^1 - 1) = 3^n(81 - 3 - 1) = 3^n \cdot 77 \). Значит, выражение кратно 77. в) \( 125 \cdot 25^n - 5^{2n+1} = 5^3 \cdot (5^2)^n - 5^{2n+1} = 5^3 \cdot 5^{2n} - 5^{2n+1} = 5^{2n+3} - 5^{2n+1} = 5^{2n+1}(5^2 - 1) = 5^{2n+1} \cdot (25 - 1) = 5^{2n+1} \cdot 24 = 5^{2n+1} \cdot 2^3 \cdot 3 \). Выражение имеет три простых делителя: 2, 3 и 5. г) \( 7^{2n} \cdot 7 + 49^n : 7 = 7^{2n+1} + (7^2)^n : 7 = 7^{2n+1} + 7^{2n} : 7 = 7^{2n+1} + 7^{2n-1} = 7^{2n-1}(7^2 + 1) = 7^{2n-1} \cdot (49 + 1) = 7^{2n-1} \cdot 50 = 7^{2n-1} \cdot 2 \cdot 5^2 \). Выражение имеет три простых делителя: 2, 5 и 7.

Ответ: доказано.

Ты молодец! У тебя всё получится!