3. Докажите, что при всех допустимых значениях х значение выражения (1 / x-3 - 27 / x³-27 - 9 / x²+3x+9) · (2x + 12x+18 / x-3) не зависит от значения х.

Доказать, что при всех допустимых значениях х значение выражения$$\left(\frac{1}{x-3} - \frac{27}{x^3-27} - \frac{9}{x^2+3x+9}\right) \cdot \left(2x + \frac{12x+18}{x-3}\right)$$не зависит от значения х.

Прежде чем выполнять умножение, упростим выражение в скобках:

$$\frac{1}{x-3} - \frac{27}{x^3-27} - \frac{9}{x^2+3x+9} = \frac{1}{x-3} - \frac{27}{(x-3)(x^2+3x+9)} - \frac{9}{x^2+3x+9}$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{x^2+3x+9}{(x-3)(x^2+3x+9)} - \frac{27}{(x-3)(x^2+3x+9)} - \frac{9(x-3)}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \frac{x^2+3x+9 - 27 - 9x + 27}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \frac{x^2 - 6x + 9}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \frac{(x-3)^2}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \frac{x-3}{x^2+3x+9}$$

Теперь упростим второе выражение:

$$2x + \frac{12x+18}{x-3} = \frac{2x(x-3)}{x-3} + \frac{12x+18}{x-3} = \frac{2x^2 - 6x + 12x + 18}{x-3} = \frac{2x^2 + 6x + 18}{x-3} = \frac{2(x^2 + 3x + 9)}{x-3}$$

Теперь выполним умножение:

$$\frac{x-3}{x^2+3x+9} \cdot \frac{2(x^2 + 3x + 9)}{x-3} = \frac{2(x-3)(x^2 + 3x + 9)}{(x-3)(x^2+3x+9)} = 2$$

Значение выражения равно 2 и не зависит от значения х.

Ответ: 2