2. Докажите тождество: (1 / (x-4)² + 2 / x²-16 + 1 / (x+4)²) : 8x³ / (x²-16)² = 1 / 2x.

Доказать тождество: $$\left(\frac{1}{(x-4)^2} + \frac{2}{x^2-16} + \frac{1}{(x+4)^2}\right) : \frac{8x^3}{(x^2-16)^2} = \frac{1}{2x}$$

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{(x-4)^2} + \frac{2}{x^2-16} + \frac{1}{(x+4)^2} = \frac{1}{(x-4)^2} + \frac{2}{(x-4)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)^2} = \frac{(x+4)^2 + 2(x-4)(x+4) + (x-4)^2}{(x-4)^2(x+4)^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{x^2 + 8x + 16 + 2(x^2 - 16) + x^2 - 8x + 16}{(x-4)^2(x+4)^2} = \frac{x^2 + 8x + 16 + 2x^2 - 32 + x^2 - 8x + 16}{(x-4)^2(x+4)^2} = \frac{4x^2}{(x-4)^2(x+4)^2}$$

Теперь выполним деление:

$$\frac{4x^2}{(x-4)^2(x+4)^2} : \frac{8x^3}{(x^2-16)^2} = \frac{4x^2}{(x-4)^2(x+4)^2} : \frac{8x^3}{((x-4)(x+4))^2} = \frac{4x^2}{(x-4)^2(x+4)^2} \cdot \frac{(x-4)^2(x+4)^2}{8x^3} = \frac{4x^2(x-4)^2(x+4)^2}{8x^3(x-4)^2(x+4)^2} = \frac{4x^2}{8x^3} = \frac{1}{2x}$$

Тождество доказано.

Ответ: $$\frac{1}{2x}$$