48.2. Докажите, что проекции на некоторую прямую отрезков, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, пропорциональны заданным отрезкам.

Ответ: Смотри доказательство в учебнике геометрии за 8 класс.

Доказательство:

• Пусть даны отрезки AB и CD, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.
• Пусть A'B' и C'D' — проекции этих отрезков на некоторую прямую.
• Проведем через точки A и C параллельные прямые, пересекающие прямую, на которую проектируются отрезки, в точках A'' и C'' соответственно.
• Тогда, по теореме Фалеса, если параллельные прямые отсекают на одной прямой пропорциональные отрезки, то они отсекают пропорциональные отрезки и на любой другой прямой, пересекающей их.
• Следовательно, \(\frac{AB}{CD} = \frac{A''B''}{C''D''}\)
• Так как A'B' = A''B'' и C'D' = C''D'' (как отрезки между параллельными прямыми), то \(\frac{AB}{CD} = \frac{A'B'}{C'D'}\)
• Таким образом, проекции отрезков пропорциональны самим отрезкам.

Ответ: Смотри доказательство в учебнике геометрии за 8 класс.