37.6 Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где C - прямой угол. Обозначим катеты a и b, гипотенузу c, а радиус вписанной окружности r.

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

1. Через катеты: $$S = \frac{1}{2}ab$$
2. Через полупериметр и радиус вписанной окружности: $$S = pr$$, где $$p = \frac{a + b + c}{2}$$ - полупериметр.

Приравниваем оба выражения для площади:

$$\frac{1}{2}ab = \frac{a + b + c}{2}r$$

Умножаем обе части на 2:

$$ ab = (a + b + c)r$$

Выражаем r:

$$ r = \frac{ab}{a + b + c}$$

Теперь покажем, что $$r = \frac{a + b - c}{2}$$

Рассмотрим квадрат (a + b)²:

$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора $$a^2 + b^2 = c^2$$

Тогда:

$$ (a + b)^2 = c^2 + 2ab $$

Или

$$ 2ab = (a + b)^2 - c^2 = (a + b - c)(a + b + c) $$

Подставим это выражение в формулу для r:

$$ r = \frac{(a + b - c)(a + b + c)}{2(a + b + c)} = \frac{a + b - c}{2} $$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой, что и требовалось доказать.