3. Докажите, что радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной к окружности в этой точке.

Доказательство: Предположим, что радиус OA, проведенный в точку касания A, не перпендикулярен касательной. Тогда существует другая точка B на касательной, такая, что OB перпендикулярна касательной. Следовательно, OB < OA, так как перпендикуляр всегда короче наклонной. Но OA – это радиус, и OB тоже должен быть радиусом (все точки окружности равноудалены от центра), что невозможно, так как радиус должен быть один и тот же. Следовательно, наше предположение неверно, и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Иначе можно доказать от противного: Предположим, что радиус OA не перпендикулярен касательной в точке A. Тогда угол между радиусом OA и касательной не равен 90 градусов. Рассмотрим точку B на касательной, отличную от точки A. Тогда отрезок OB будет гипотенузой прямоугольного треугольника, где OA - катет, а AB - расстояние от точки касания до точки B на касательной. По теореме Пифагора, \(OB^2 = OA^2 + AB^2\). Значит, \(OB > OA\). Но OA - это радиус окружности. И OB должен быть больше радиуса, следовательно, точка B лежит вне окружности. Если же мы будем двигать точку B к точке A, то в пределе при B = A, OB = OA. Таким образом, расстояние от центра O до любой другой точки на касательной (кроме точки касания A) будет больше радиуса. Следовательно, радиус, проведенный в точку касания, является кратчайшим расстоянием от центра окружности до касательной. А кратчайшее расстояние от точки до прямой - это перпендикуляр. Следовательно, радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной к окружности в этой точке.