2. К окружности радиусом 4 см провели касательную линию, которая образует угол 30° с радиусом, проведенным к точке касания. Найдите длину касательной, если она выходит из точки на расстоянии 12 см от центра.

Пусть O – центр окружности, r – радиус окружности, равный 4 см. Пусть касательная проходит через точку B, а точка касания – A. Тогда OA = r = 4 см. Также, пусть OB = 12 см. Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°. По условию, касательная образует угол 30° с радиусом, проведенным к точке касания. Это означает, что угол между линией, проведенной из центра к точке на касательной, и радиусом равен 30°. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAB, где угол OAB = 90°. Мы хотим найти длину отрезка AB. Обозначим угол ABO = \(\alpha\). Тогда \(\alpha\) = 30°. Используем тангенс угла \(\alpha\): \(\tan(\alpha) = \frac{OA}{AB}\) \(\tan(30°) = \frac{4}{AB}\) \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{AB}\) \(AB = 4\sqrt{3}\) Также можно рассмотреть косинус угла \(\alpha\): \(\cos(\alpha) = \frac{AB}{OB}\) \(\cos(30°) = \frac{AB}{12}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{12}\) \(AB = 6\sqrt{3}\) Условие задачи сформулировано немного некорректно, но будем считать, что имеется ввиду, что угол 30 градусов образует отрезок, соединяющий центр окружности и точку на касательной, с радиусом, проведенным в точку касания. Обозначим точку на касательной как B. Тогда \(\angle OBA = 30^{\circ}\). Треугольник OAB - прямоугольный, так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. Используем тангенс угла \(\angle OBA\): \(\tan(\angle OBA) = \frac{OA}{BA}\) \(\tan(30^{\circ}) = \frac{4}{BA}\) \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{BA}\) \(BA = 4\sqrt{3}\) То есть длина касательной равна \(4\sqrt{3}\) см. Чтобы найти длину касательной, выходящей из точки на расстоянии 12 см от центра, рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна 12 см, а катет (радиус) равен 4 см. По теореме Пифагора найдем второй катет (длину касательной): \(AB^2 + OA^2 = OB^2\) \(AB^2 + 4^2 = 12^2\) \(AB^2 + 16 = 144\) \(AB^2 = 128\) \(AB = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}\) Ответ: Длина касательной равна \(8\sqrt{2}\) см