924. Докажите, что равенство является тождеством: tg2 a -sin² a a) ctg a-cos² a tg β B) 1-tg² ẞ ctg ẞ ctg² B-1; =tg a; = sin² a-cos² a + costa г) cos² a-sin² a+sin a 4 tg a.

924. Докажите, что равенство является тождеством:

а) \(\frac{tg^2 \alpha - sin^2 \alpha}{ctg^2 \alpha - cos^2 \alpha} = tg^6 \alpha\)

Шаг 1: Выразим \(tg \alpha\) и \(ctg \alpha\) через \(sin \alpha\) и \(cos \alpha\):

\[tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}, \quad ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}\]

Шаг 2: Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[\frac{\frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} - sin^2 \alpha}{\frac{cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha} - cos^2 \alpha} = \frac{\frac{sin^2 \alpha - sin^2 \alpha cos^2 \alpha}{cos^2 \alpha}}{\frac{cos^2 \alpha - cos^2 \alpha sin^2 \alpha}{sin^2 \alpha}}\]

Шаг 3: Упростим числитель и знаменатель:

\[\frac{sin^2 \alpha (1 - cos^2 \alpha)}{cos^2 \alpha} \cdot \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha (1 - sin^2 \alpha)} = \frac{sin^2 \alpha \cdot sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} \cdot \frac{sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha}\]

Шаг 4: Упростим выражение, используя \(1 - cos^2 \alpha = sin^2 \alpha\) и \(1 - sin^2 \alpha = cos^2 \alpha\):

\[\frac{sin^4 \alpha}{cos^2 \alpha} \cdot \frac{sin^2 \alpha}{cos^4 \alpha} = \frac{sin^6 \alpha}{cos^6 \alpha} = tg^6 \alpha\]

Ответ: Равенство является тождеством.

B) \(\frac{tg \beta}{1 - tg^2 \beta} = \frac{ctg \beta}{ctg^2 \beta - 1}\)

Шаг 1: Выразим \(ctg \beta\) через \(tg \beta\):

\[ctg \beta = \frac{1}{tg \beta}\]

Шаг 2: Подставим это выражение в правую часть уравнения:

\[\frac{\frac{1}{tg \beta}}{\frac{1}{tg^2 \beta} - 1} = \frac{\frac{1}{tg \beta}}{\frac{1 - tg^2 \beta}{tg^2 \beta}} = \frac{1}{tg \beta} \cdot \frac{tg^2 \beta}{1 - tg^2 \beta} = \frac{tg \beta}{1 - tg^2 \beta}\]

Ответ: Равенство является тождеством.

г) \(\frac{sin^2 \alpha - cos^2 \alpha + cos^4 \alpha}{cos^2 \alpha - sin^2 \alpha + sin^4 \alpha} = tg^4 \alpha\)

Шаг 1: Преобразуем числитель:

\[sin^2 \alpha - cos^2 \alpha + cos^4 \alpha = sin^2 \alpha - cos^2 \alpha (1 - cos^2 \alpha) = sin^2 \alpha - cos^2 \alpha sin^2 \alpha = sin^2 \alpha (1 - cos^2 \alpha) = sin^2 \alpha sin^2 \alpha = sin^4 \alpha\]

Шаг 2: Преобразуем знаменатель:

\[cos^2 \alpha - sin^2 \alpha + sin^4 \alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha (1 - sin^2 \alpha) = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha cos^2 \alpha = cos^2 \alpha (1 - sin^2 \alpha) = cos^2 \alpha cos^2 \alpha = cos^4 \alpha\]

Шаг 3: Подставим преобразованные выражения:

\[\frac{sin^4 \alpha}{cos^4 \alpha} = tg^4 \alpha\]

Ответ: Равенство является тождеством.