925. Докажите тождество: a) cos y - sin⁴ y = 1 - 2 sin² γ; tg a sin a B) sin a cos a; ctg a 1-2 sin² α б) =ctga-tg a; sin a cos a tg² +1 г) tg2y-1 1 sin² γ - cos² γ 200

925. Докажите тождество:

а) \(cos^4 \gamma - sin^4 \gamma = 1 - 2 sin^2 \gamma\)

Шаг 1: Разложим левую часть как разность квадратов:

\[cos^4 \gamma - sin^4 \gamma = (cos^2 \gamma - sin^2 \gamma)(cos^2 \gamma + sin^2 \gamma)\]

Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество \(cos^2 \gamma + sin^2 \gamma = 1\):

\[(cos^2 \gamma - sin^2 \gamma) \cdot 1 = cos^2 \gamma - sin^2 \gamma\]

Шаг 3: Выразим \(cos^2 \gamma\) через \(sin^2 \gamma\):

\[cos^2 \gamma = 1 - sin^2 \gamma\]

Шаг 4: Подставим это выражение в уравнение:

\[1 - sin^2 \gamma - sin^2 \gamma = 1 - 2 sin^2 \gamma\]

Ответ: Тождество доказано.

B) \(\frac{tg \alpha}{sin \alpha} - \frac{sin \alpha}{ctg \alpha} = cos \alpha\)

Шаг 1: Выразим \(tg \alpha\) и \(ctg \alpha\) через \(sin \alpha\) и \(cos \alpha\):

\[tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}, \quad ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}\]

Шаг 2: Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[\frac{\frac{sin \alpha}{cos \alpha}}{sin \alpha} - \frac{sin \alpha}{\frac{cos \alpha}{sin \alpha}} = \frac{sin \alpha}{cos \alpha sin \alpha} - \frac{sin^2 \alpha}{cos \alpha}\]

Шаг 3: Упростим выражение:

\[\frac{1}{cos \alpha} - \frac{sin^2 \alpha}{cos \alpha} = \frac{1 - sin^2 \alpha}{cos \alpha}\]

Шаг 4: Используем основное тригонометрическое тождество \(1 - sin^2 \alpha = cos^2 \alpha\):

\[\frac{cos^2 \alpha}{cos \alpha} = cos \alpha\]

Ответ: Тождество доказано.

б) \(\frac{1 - 2 sin^2 \alpha}{sin \alpha cos \alpha} = ctg \alpha - tg \alpha\)

Шаг 1: Выразим \(ctg \alpha\) и \(tg \alpha\) через \(sin \alpha\) и \(cos \alpha\):

\[ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}, \quad tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}\]

Шаг 2: Подставим эти выражения в правую часть уравнения:

\[\frac{cos \alpha}{sin \alpha} - \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{cos^2 \alpha - sin^2 \alpha}{sin \alpha cos \alpha}\]

Шаг 3: Используем формулу двойного угла \(cos 2\alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha = 1 - 2 sin^2 \alpha\):

\[\frac{1 - 2 sin^2 \alpha}{sin \alpha cos \alpha}\]

Ответ: Тождество доказано.

г) \(\frac{tg^2 \gamma + 1}{tg^2 \gamma - 1} = \frac{1}{sin^2 \gamma - cos^2 \gamma}\)

Шаг 1: Выразим \(tg \gamma\) через \(sin \gamma\) и \(cos \gamma\):

\[tg \gamma = \frac{sin \gamma}{cos \gamma}\]

Шаг 2: Подставим это выражение в левую часть уравнения:

\[\frac{\frac{sin^2 \gamma}{cos^2 \gamma} + 1}{\frac{sin^2 \gamma}{cos^2 \gamma} - 1} = \frac{\frac{sin^2 \gamma + cos^2 \gamma}{cos^2 \gamma}}{\frac{sin^2 \gamma - cos^2 \gamma}{cos^2 \gamma}}\]

Шаг 3: Упростим выражение:

\[\frac{sin^2 \gamma + cos^2 \gamma}{sin^2 \gamma - cos^2 \gamma}\]

Шаг 4: Используем основное тригонометрическое тождество \(sin^2 \gamma + cos^2 \gamma = 1\):

\[\frac{1}{sin^2 \gamma - cos^2 \gamma}\]

Ответ: Тождество доказано.