923. Упростите выражение: a) (tg a+ctg a) (1 + cos a) (1-cos a); б) (sin a + cos a) -1. ctg a-sin a cos a ; B) sin a + sin² a cos² a + cos² a; r) sin² a + sin² a cos² a + cos a.

923. Упростите выражение:

а) \((tg \alpha + ctg \alpha) (1 + cos \alpha) (1 - cos \alpha)\)

Шаг 1: Преобразуем произведение \((1 + cos \alpha) (1 - cos \alpha)\) в \(1 - cos^2 \alpha\), которое равно \(sin^2 \alpha\):

\[(tg \alpha + ctg \alpha) (1 - cos^2 \alpha) = (tg \alpha + ctg \alpha) sin^2 \alpha\]

Шаг 2: Выразим \(tg \alpha\) и \(ctg \alpha\) через \(sin \alpha\) и \(cos \alpha\):

\[tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}, \quad ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}\]

Шаг 3: Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[\left(\frac{sin \alpha}{cos \alpha} + \frac{cos \alpha}{sin \alpha}\right) sin^2 \alpha = \frac{sin^2 \alpha}{cos \alpha} sin \alpha + \frac{cos \alpha}{sin \alpha} sin^2 \alpha\]

Шаг 4: Упростим выражение:

\[\frac{sin^3 \alpha}{cos \alpha} + cos \alpha sin \alpha = \frac{sin^3 \alpha + cos^2 \alpha sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{sin \alpha (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)}{cos \alpha}\]

Шаг 5: Используем основное тригонометрическое тождество \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\):

\[\frac{sin \alpha}{cos \alpha} = tg \alpha\]

Ответ:

\[tg \alpha\]

б) \(\frac{(sin \alpha + cos \alpha)^2 - 1}{ctg \alpha - sin \alpha cos \alpha}\)

Шаг 1: Раскроем квадрат суммы в числителе:

\[(sin \alpha + cos \alpha)^2 = sin^2 \alpha + 2 sin \alpha cos \alpha + cos^2 \alpha\]

Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\):

\[(sin \alpha + cos \alpha)^2 = 1 + 2 sin \alpha cos \alpha\]

Шаг 3: Подставим это в исходное выражение:

\[\frac{1 + 2 sin \alpha cos \alpha - 1}{ctg \alpha - sin \alpha cos \alpha} = \frac{2 sin \alpha cos \alpha}{ctg \alpha - sin \alpha cos \alpha}\]

Шаг 4: Выразим \(ctg \alpha\) через \(sin \alpha\) и \(cos \alpha\):

\[ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}\]

Шаг 5: Подставим это в знаменатель:

\[\frac{2 sin \alpha cos \alpha}{\frac{cos \alpha}{sin \alpha} - sin \alpha cos \alpha} = \frac{2 sin \alpha cos \alpha}{\frac{cos \alpha - sin^2 \alpha cos \alpha}{sin \alpha}}\]

Шаг 6: Упростим выражение:

\[\frac{2 sin \alpha cos \alpha \cdot sin \alpha}{cos \alpha (1 - sin^2 \alpha)} = \frac{2 sin^2 \alpha cos \alpha}{cos \alpha cos^2 \alpha} = \frac{2 sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha} = 2 tg^2 \alpha\]

Ответ:

\[2 tg^2 \alpha\]

в) \(sin^4 \alpha + sin^2 \alpha cos^2 \alpha + cos^2 \alpha\)

Шаг 1: Сгруппируем первые два слагаемых:

\[sin^4 \alpha + sin^2 \alpha cos^2 \alpha + cos^2 \alpha = sin^2 \alpha (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha) + cos^2 \alpha\]

Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\):

\[sin^2 \alpha \cdot 1 + cos^2 \alpha = sin^2 \alpha + cos^2 \alpha\]

Шаг 3: Снова применяем основное тригонометрическое тождество:

\[sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\]

Ответ:

\[1\]

г) \(sin^2 \alpha + sin^2 \alpha cos^2 \alpha + cos^4 \alpha\)

Шаг 1: Сгруппируем последние два слагаемых:

\[sin^2 \alpha + sin^2 \alpha cos^2 \alpha + cos^4 \alpha = sin^2 \alpha + cos^2 \alpha (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha)\]

Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\):

\[sin^2 \alpha + cos^2 \alpha \cdot 1 = sin^2 \alpha + cos^2 \alpha\]

Шаг 3: Снова применяем основное тригонометрическое тождество:

\[sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\]

Ответ:

\[1\]