5. Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его периметра.

Пусть стороны треугольника равны a, b, c, а медианы, проведенные к этим сторонам, равны m_a, m_b, m_c.

Известно, что каждая медиана треугольника меньше полусуммы двух других сторон: m_a < (b+c)/2, m_b < (a+c)/2, m_c < (a+b)/2.

Сложим эти неравенства:

$$m_a + m_b + m_c < \frac{b+c}{2} + \frac{a+c}{2} + \frac{a+b}{2}$$

$$m_a + m_b + m_c < \frac{2a+2b+2c}{2}$$

$$m_a + m_b + m_c < a+b+c$$

Сумма медиан треугольника меньше его периметра.

Ответ: Доказано