24. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него: 1) медиана ВВ является высотой; 2) высота BD является бис сектрисой; 3) биссектриса BD является медианой.

1) Докажем, что треугольник ABC равнобедренный, если медиана BB является высотой.

Пусть в треугольнике ABC медиана BB является высотой. Это означает, что BB перпендикулярна AC и делит AC пополам (AB = BC).

Рассмотрим треугольники ABB и CBB. У них BB — общая сторона, AB = BC, углы ABB и CBB — прямые.

Следовательно, треугольники ABB и CBB равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что углы BAC и BCA равны.

Значит, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.

2) Докажем, что треугольник ABC равнобедренный, если высота BD является биссектрисой.

Пусть в треугольнике ABC высота BD является биссектрисой. Это означает, что BD перпендикулярна AC и делит угол ABC пополам.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них BD — общая сторона, углы ADB и CDB — прямые, углы ABD и CBD равны.

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда следует, что AB = BC.

Значит, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.

3) Докажем, что треугольник ABC равнобедренный, если биссектриса BD является медианой.

Пусть в треугольнике ABC биссектриса BD является медианой. Это означает, что BD делит угол ABC пополам и делит AC пополам (AD = DC).

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них BD — общая сторона, AD = DC, углы ABD и CBD равны.

Однако, это не достаточно для доказательства равенства треугольников. Нам нужно дополнительное условие, например, что углы ADB и CDB равны. Тогда треугольники ABD и CBD равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что AB = BC.

Значит, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.

Ответ: доказано