Пункт 26 19. Докажите, что у равнобедренного треугольника: 1) биссектри сы, проведённые из вершин при основании, равны; 2) медиа ны, проведенные из тех же вершин, тоже равны.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

1) Докажем, что биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Проведём биссектрисы AL и CN из вершин A и C соответственно.

Рассмотрим треугольники ALC и CNA. У них сторона AC — общая, углы LAC и NCA равны, так как ABC — равнобедренный, углы ALC и CNA равны, так как AL и CN — биссектрисы.

Следовательно, треугольники ALC и CNA равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Из равенства треугольников ALC и CNA следует, что AL = CN.

2) Докажем, что медианы, проведённые из вершин при основании, тоже равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Проведём медианы AM и CP из вершин A и C соответственно.

Рассмотрим треугольники AMC и CPA. У них сторона AC — общая, углы MAC и PCA равны, так как ABC — равнобедренный, AM = MC, так как AM и CP — медианы.

Следовательно, треугольники AMC и CPA равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников AMC и CPA следует, что AM = CP.

Ответ: доказано