269 Докажите, что \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\), если \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\) и \(BH = B_1H_1\), где \(BH\) и \(B_1H_1\) — высоты \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\).

Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABH\) и \(\triangle A_1B_1H_1\). У них \(\angle AHB = \angle A_1H_1B_1 = 90^{\circ}\) (так как \(BH\) и \(B_1H_1\) - высоты), \(BH = B_1H_1\) (по условию), \(\angle A = \angle A_1\) (по условию). Следовательно, \(\triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1\) по углу и прилежащей к нему стороне (по второму признаку равенства треугольников). Отсюда следует, что \(AB = A_1B_1\). 2. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). У них \(\angle A = \angle A_1\) (по условию), \(\angle B = \angle B_1\) (по условию), \(AB = A_1B_1\) (доказано выше). Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по углу и прилежащей к нему стороне (по второму признаку равенства треугольников). Что и требовалось доказать.