270 Внутри угла дана точка A. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

Решение: 1. Пусть дан угол с вершиной O, и точка A внутри этого угла. 2. Проведем прямую l₁ через точку A параллельно одной из сторон угла. Пусть она пересечет другую сторону угла в точке B. 3. Отложим на прямой l₁ от точки A отрезок AC, равный OB (OB = AC). 4. Проведем прямую через точки O и C. Эта прямая и будет искомой. Доказательство: Пусть проведенная прямая OC пересекает одну сторону угла в точке X, а другую в точке Y. Тогда нужно доказать, что OX = OY. Рассмотрим \(\triangle OAC\) и \(\triangle OYX\). Так как AC || OX, то \(\angle CAO = \angle YOX\) как соответственные углы при параллельных прямых. И \(\angle OCA = \angle OXY\) как соответственные углы при параллельных прямых. По построению AC = OX (так как AC = OB, а OB = OX по построению). Значит, \(\triangle OAC = \triangle OYX\) по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, OX = OY. Что и требовалось построить и доказать.