Докажите, что: 1) центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра; 2) середины ребер правильного тетраэдра являются вершинами правильного октаэдра.

Доказательство:

1. Рассмотрим правильный тетраэдр. Соединим центры его граней. Получим другой тетраэдр. Все ребра этого тетраэдра равны, а грани - правильные треугольники. Значит, полученный тетраэдр - правильный. Следовательно, центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.


2. Рассмотрим правильный тетраэдр. Найдем середины его ребер. Соединим их так, чтобы получился октаэдр. Все ребра этого октаэдра равны, а грани - правильные треугольники. Значит, полученный октаэдр - правильный. Следовательно, середины ребер правильного тетраэдра являются вершинами правильного октаэдра.