53. Докажите, что уравнение 3х3 + 2x - \frac{1}{x} = 0 на промежутке [0,5; 2] имеет единственный корень.

Решение: Для доказательства, что уравнение 3x^3 + 2x - \frac{1}{x} = 0 имеет единственный корень на промежутке [0.5; 2], можно воспользоваться методом анализа функции на монотонность и применения теоремы о промежуточном значении. Шаг 1: Анализ функции Рассмотрим функцию f(x) = 3x^3 + 2x - \frac{1}{x}. Функция определена и непрерывна на интервале (0; +∞), в частности, на [0.5; 2]. Шаг 2: Нахождение производной Найдем производную f'(x) для определения монотонности функции: f'(x) = 9x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} Шаг 3: Анализ знака производной Заметим, что для любого x из интервала (0; +∞) производная f'(x) > 0, так как 9x^2 > 0, 2 > 0 и \frac{1}{x^2} > 0. Это означает, что функция f(x) строго возрастает на интервале (0; +∞), и следовательно, на [0.5; 2]. Шаг 4: Применение теоремы о промежуточном значении Вычислим значения функции на концах отрезка [0.5; 2]: f(0.5) = 3(0.5)^3 + 2(0.5) - \frac{1}{0.5} = 3 \cdot 0.125 + 1 - 2 = 0.375 + 1 - 2 = -0.625 f(2) = 3(2)^3 + 2(2) - \frac{1}{2} = 3 \cdot 8 + 4 - 0.5 = 24 + 4 - 0.5 = 27.5 Так как f(0.5) < 0 и f(2) > 0, и функция f(x) непрерывна на [0.5; 2], то по теореме о промежуточном значении существует такое число c ∈ (0.5; 2), что f(c) = 0. Это означает, что уравнение имеет корень на данном интервале. Шаг 5: Единственность корня Поскольку функция f(x) строго возрастает на [0.5; 2], она может принимать каждое значение только один раз. Следовательно, корень уравнения f(x) = 0 на этом интервале является единственным. Вывод: Уравнение 3x^3 + 2x - \frac{1}{x} = 0 имеет единственный корень на промежутке [0.5; 2], что и требовалось доказать.

Ответ: Уравнение имеет единственный корень на промежутке [0.5; 2].