Докажите, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит треугольник на два равных треугольника.

Дано: треугольник ABC - равнобедренный (AB = BC), BH - высота, проведенная к основанию AC.

Доказать: \(\triangle ABH = \triangle CBH\).

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC - равнобедренный, то AB = BC.
2. BH - высота, следовательно, \(\angle BHA = \angle BHC = 90^{\circ}\).
3. BH - общая сторона для треугольников ABH и CBH.
4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, AH = HC.
5. Рассмотрим треугольники ABH и CBH. У них: AB = BC (по условию), BH - общая сторона, AH = HC (т.к. BH - медиана).
6. Таким образом, \(\triangle ABH = \triangle CBH\) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Что и требовалось доказать.