Доказательство свойств равнобедренной трапеции

а) Углы при каждом основании равны

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB = CD. Докажем, что углы при основаниях AD и BC равны, то есть ∠BAD = ∠CDA и ∠ABC = ∠DCB.

1. Проведем высоты BH и CF из вершин B и C к основанию AD.
2. Тогда ABH и DCF - прямоугольные треугольники.
3. Так как AB = CD (трапеция равнобедренная), BH = CF (высоты трапеции), то треугольники ABH и DCF равны по гипотенузе и катету.
4. Следовательно, ∠BAH = ∠CDF. А так как ∠BAH = ∠BAD и ∠CDF = ∠CDA, то ∠BAD = ∠CDA.
5. Так как AD || BC, то ∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠DCB + ∠CDA = 180°.
6. Из равенства ∠BAD = ∠CDA следует, что ∠ABC = ∠DCB.

Таким образом, углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.

б) Диагонали равны

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB = CD. Докажем, что диагонали AC и BD равны.

1. Рассмотрим треугольники ABD и DCA.
2. В этих треугольниках: AB = CD (трапеция равнобедренная), AD - общее основание, ∠BAD = ∠CDA (углы при основании равнобедренной трапеции равны).
3. Следовательно, треугольники ABD и DCA равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Из равенства треугольников следует, что BD = AC.

Таким образом, диагонали равнобедренной трапеции равны.