Докажите, что в равнобедренной тра пеции углы при каждом основани равны.

Ответ:

Доказательство:

• Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC, где AB = CD.
• Проведём высоты BH и CF из вершин B и C к основанию AD.
• Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и DCF. У них AB = CD (как боковые стороны равнобедренной трапеции) и BH = CF (как высоты трапеции).
• Следовательно, треугольники ABH и DCF равны по гипотенузе и катету.
• Из равенства треугольников следует, что AH = DF и ∠BAH = ∠CDF.
• Так как AH = DF, то AD - AH = AD - DF, то есть HD = AF.
• Рассмотрим четырёхугольник BCFH. У него BH || CF и BC || HF, значит, это параллелограмм.
• В параллелограмме BCFH противоположные стороны равны, значит BC = HF.
• Углы ∠ABC и ∠DCB равны, так как ∠ABH + ∠HBC = ∠DCF + ∠FCB и ∠HBC = ∠FCB (как углы при параллельных прямых).
• Углы ∠BAD и ∠CDA равны, так как ∠BAH + ∠HAD = ∠CDF + ∠FDA и ∠HAD = ∠FDA (как углы при параллельных прямых).
• Таким образом, в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны: ∠BAD = ∠CDA и ∠ABC = ∠DCB.

Ответ: Что и требовалось доказать.