8) (3) Докажите, что в равностороннем треугольнике сторона больше его медианы.

Доказательство: В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны 60 градусам. Медиана, проведенная из вершины, является также биссектрисой и высотой. Пусть ABC - равносторонний треугольник со стороной a. Медиана BD делит сторону AC пополам, то есть AD = DC = a/2. Рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике угол A равен 60 градусов. Медиана BD является высотой, следовательно, угол ADB равен 90 градусов. Таким образом, треугольник ABD - прямоугольный. Длина медианы BD может быть найдена по теореме Пифагора: $$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Таким образом, длина медианы BD равна $$\frac{a\sqrt{3}}{2}$$. Теперь сравним сторону a и медиану $$\frac{a\sqrt{3}}{2}$$. Так как $$\sqrt{3} \approx 1.732$$, то $$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$$. Таким образом, $$\frac{a\sqrt{3}}{2} \approx 0.866a$$. Поскольку 0.866a < a, сторона равностороннего треугольника больше его медианы. Что и требовалось доказать.