319 Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.

Доказательство:

Пусть даны равные треугольники ABC и A₁B₁C₁, в которых AB = A₁B₁ и высоты CH и C₁H₁ проведены к этим сторонам. Требуется доказать, что CH = C₁H₁.

Так как треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, их площади также равны: S(ABC) = S(A₁B₁C₁).

Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения основания на высоту: $$ S(ABC) = \frac{1}{2} AB \cdot CH $$ и $$ S(A_1B_1C_1) = \frac{1}{2} A_1B_1 \cdot C_1H_1 $$.

Так как площади равны, получаем: $$ \frac{1}{2} AB \cdot CH = \frac{1}{2} A_1B_1 \cdot C_1H_1 $$.

Учитывая, что AB = A₁B₁, можно сократить обе части уравнения на $$ \frac{1}{2}AB $$, что даст CH = C₁H₁.

Следовательно, в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.

Ответ: доказано, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.