5. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Рассмотрим треугольник ABC, из вершины B проведены медиана BM и высота BH. Нужно доказать, что BM ≥ BH. 1. Если треугольник ABC равнобедренный или равносторонний, и высота BH является также медианой, то BM = BH. В этом случае утверждение верно. 2. Если треугольник ABC не является равнобедренным, то BH является перпендикуляром к AC, а BM - нет. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHM. В этом треугольнике BM - гипотенуза, а BH - катет. Известно, что гипотенуза всегда больше катета. Следовательно, BM > BH. В любом случае, медиана BM не меньше высоты BH (BM ≥ BH). Что и требовалось доказать.