Докажите, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

• Случай 1: Центр окружности лежит на стороне угла.
• Пусть дан вписанный угол \( \angle ABC \), опирающийся на дугу \( AC \). Пусть центр окружности точка \( O \) лежит на стороне \( BA \).
• Проведем радиус \( OC \). Тогда треугольник \( \triangle BOC \) - равнобедренный, так как \( BO = OC = R \) (радиусы окружности). Следовательно, \( \angle OBC = \angle OCB \).
• Угол \( \angle AOC \) - центральный и является внешним углом треугольника \( \triangle BOC \). По теореме о внешнем угле треугольника: \[ \angle AOC = \angle OBC + \angle OCB = 2 \cdot \angle OBC \]
• Таким образом, \( \angle OBC = \frac{1}{2} \angle AOC \). Угол \( \angle OBC \) - это и есть вписанный угол \( \angle ABC \), а угол \( \angle AOC \) - центральный угол, опирающийся на ту же дугу \( AC \). Следовательно, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Случай 2: Центр окружности лежит внутри угла.
• Проведем радиус \( BO \). Тогда угол \( \angle ABC \) разбивается на два угла: \( \angle ABO \) и \( \angle CBO \). Каждый из этих углов - вписанный, и для каждого из них выполняется доказательство из случая 1.
• Следовательно, \( \angle ABC = \angle ABO + \angle CBO \). Каждый из углов \( \angle ABO \) и \( \angle CBO \) равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Следовательно, \( \angle ABC \) равен половине дуги, на которую он опирается.
• Случай 3: Центр окружности лежит вне угла.
• Этот случай аналогичен случаю 2, только углы вычитаются.

Что и требовалось доказать.