279* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной.

Решение задачи 279

Разбираемся:

Пусть дана прямая a и множество точек M, расположенных по одну сторону от a и равноудаленных от нее. Это означает, что для каждой точки M расстояние до прямой a одинаково и равно некоторому значению d.

Доказательство:

1. Рассмотрим две произвольные точки M1 и M2 из множества M. Так как они равноудалены от прямой a, расстояние от M1 до a равно d и расстояние от M2 до a также равно d.

2. Опустим перпендикуляры из точек M1 и M2 на прямую a. Пусть основания этих перпендикуляров - точки A1 и A2 соответственно. Тогда M1A1 = d и M2A2 = d.

3. Проведем прямую b через точки M1 и M2. Нам нужно доказать, что прямая b параллельна прямой a.

4. Так как расстояния от M1 и M2 до прямой a равны, то прямые M1A1 и M2A2 параллельны (они обе перпендикулярны прямой a).

5. Рассмотрим четырехугольник M1A1A2M2. В нем M1A1 = M2A2 = d и M1A1 || M2A2. Следовательно, M1A1A2M2 - параллелограмм (по признаку: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм).

6. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит, M1M2 || A1A2. Таким образом, прямая b (содержащая M1M2) параллельна прямой a (содержащей A1A2).

7. Итак, все точки множества M лежат на прямой b, которая параллельна прямой a.

Вывод: Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что в доказательстве использованы ключевые геометрические понятия: перпендикуляр, параллельность, параллелограмм.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Используй этот факт для построения параллельных прямых с заданным расстоянием!