Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD — параллелограмм, если ∠B = ∠D и AD ∥ BC.

Так как \(AD\parallel BC\), прямая \(BD\) является секущей, поэтому накрест лежащие углы равны: \(\angle ADB=\angle DBC\).

По условию \(\angle B=\angle D\), то есть \(\angle ABC=\angle CDA\). Разложим их на углы, прилежащие к диагонали \(BD\):

\(\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC\), а \(\angle CDA=\angle CDB+\angle BDA\).

Поскольку \(\angle DBC=\angle BDA\), из равенства углов следует \(\angle ABD=\angle CDB\). Это накрест лежащие углы при прямых \(AB\) и \(CD\), пересечённых секущей \(BD\), значит, \(AB\parallel CD\).

Обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны: \(AD\parallel BC\) и \(AB\parallel CD\). Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.