Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм ABCD, где AB || CD и BC || DA.

1. Докажем равенство противоположных сторон:
• Проведем диагональ AC.
• Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔCDA.
• Угол ∠BAC = ∠DCA (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC).
• Угол ∠BCA = ∠DAC (как накрест лежащие при параллельных BC и DA и секущей AC).
• Сторона AC — общая для обоих треугольников.
• Следовательно, ΔABC = ΔCDA по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
• Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: AB = CD и BC = DA.
2. Докажем равенство противоположных углов:
• Из равенства треугольников ΔABC = ΔCDA следует, что соответствующие углы равны: ∠ABC = ∠CDA.
• Аналогично, проведя диагональ BD, можно доказать равенство треугольников ΔABD = ΔCDB, из чего следует ∠BAD = ∠BCD.

Таким образом, в параллелограмме противоположные стороны равны (AB = CD, BC = DA) и противоположные углы равны (∠ABC = ∠CDA, ∠BAD = ∠BCD).