Докажите, что выражение 8⁵ + 2¹⁵ делится на 10. 9⁶ - 3¹⁰ делится на 24.

**Докажем, что 8⁵ + 2¹⁵ делится на 10:** 8⁵ + 2¹⁵ = (2³)⁵ + 2¹⁵ = 2¹⁵ + 2¹⁵ = 2 * 2¹⁵ = 2¹⁶ = 2¹⁶ 2¹⁶ = 2 * 2¹⁵ = 2 * (2⁵)³ = 2 * 32³ = 2 * (32³) Число 32 заканчивается на 2. 2 в любой степени заканчивается либо на 2, 4, 8, 6. Чтобы доказать, что делится на 10, нужно чтобы число заканчивалось на 0. Разложим 8⁵ + 2¹⁵ = (2³)⁵ + 2¹⁵ = 2¹⁵ + 2¹⁵ = 2 * 2¹⁵ = 2¹⁶ Представим 2¹⁶ в виде 2¹ * 2¹⁵ = 2 * (2⁵)³ = 2 * 32³ = 2 * (32 * 32 * 32) = 2 * (1024 * 32) = 2 * 32768 = 65536 Число 65536 заканчивается на 6, а значит не делится на 10. Однако, если допустить, что в условии 2¹⁵ а не 2¹³, то: 8⁵ + 2¹⁵ = 32768 + 32768 = 65536 (не делится на 10) **Но если имелось в виду 2¹⁵, то решение такое:** 8⁵ + 2¹⁵ = (2³)⁵ + 2¹⁵ = 2¹⁵ + 2¹⁵ = 2 * 2¹⁵ = 2¹⁶ = 65536, которое заканчивается на 6, а значит не делится на 10. Возможно, в задании опечатка, и должно быть 5⁵ + 5¹³. **Докажем, что 9⁶ - 3¹⁰ делится на 24:** 9⁶ - 3¹⁰ = (3²)⁶ - 3¹⁰ = 3¹² - 3¹⁰ = 3¹⁰(3² - 1) = 3¹⁰(9 - 1) = 3¹⁰ * 8 = 3¹⁰ * 8 Так как 3¹⁰ * 8 содержит множитель 8, то делится на 8. Чтобы доказать, что делится на 24, нужно доказать, что делится на 3. Так как 3¹⁰ содержит множитель 3, то 3¹⁰ * 8 делится на 3. Значит, 3¹⁰ * 8 делится и на 8 и на 3, а значит делится на 24. *Ответ:* 9⁶ - 3¹⁰ делится на 24.