5. Докажите, что выражение х²-6x + 13 принимает положительные значения при всех значениях х

Для доказательства, что выражение x² - 6x + 13 принимает положительные значения при всех значениях x, можно использовать метод выделения полного квадрата.

1. Преобразуем выражение x² - 6x + 13, выделив полный квадрат:

$$ x^2 - 6x + 13 = (x^2 - 6x + 9) + 13 - 9 $$

2. Заметим, что x² - 6x + 9 можно представить как (x - 3)²:

$$ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 $$

3. Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$$ (x - 3)^2 + 13 - 9 = (x - 3)^2 + 4 $$

4. Анализируем полученное выражение (x - 3)² + 4:

Так как (x - 3)² всегда неотрицательно для любого действительного x (квадрат любого числа больше или равен нулю), то (x - 3)² ≥ 0.

5. Следовательно, (x - 3)² + 4 всегда будет больше или равно 4, то есть положительно:

$$ (x - 3)^2 + 4 ≥ 4 > 0 $$

Таким образом, выражение x² - 6x + 13 принимает положительные значения при всех значениях x.

Ответ: Выражение x²-6x + 13 принимает положительные значения при всех значениях x, так как может быть представлено в виде (x-3)² + 4, где (x-3)² всегда неотрицательно, и, следовательно, (x-3)² + 4 всегда больше нуля.