Докажите, что выражение x^2 − 4x + 5 принимает положительные значения при всех значениях x.

Выделим квадрат двучлена:

\[x^2-4x+5=(x-2)^2+1.\]

Так как \((x-2)^2\ge 0\) при любом действительном \(x\), то \((x-2)^2+1\ge 1>0\).

Ответ: выражение положительно при всех \(x\).