96. Докажите, что выражение 2x(x - 5) - x³(-10x + 2x²- - 7х3) принимает неотрицательные значения при всех значениях х.

96. Докажите, что выражение $$2x(x - 5) - x(-10 + 2x^2 - 7x^3)$$ принимает неотрицательные значения при всех значениях x.

Преобразуем выражение: $$2x(x - 5) - x(-10x + 2x^2 - 7x^3) = 2x^2 - 10x + 10x^2 - 2x^3 + 7x^4 = 7x^4 - 2x^3 + 12x^2 - 10x$$

Тут явно не хватает скобок. Иначе получается бессмыслица, т.к. $$x^3$$ умножается на весь многочлен в скобках, а не на отдельные слагаемые.

Предположим, что все-таки подразумевается: $$2x(x - 5) - x^3(-10x + 2x^2 - 7x^3)$$. Тогда: $$2x^2 - 10x + 10x^4 - 2x^5 + 7x^6 = 7x^6 - 2x^5 + 10x^4 + 2x^2 - 10x$$

Но даже в таком виде доказать неотрицательность невозможно, т.к. при отрицательных x можно получить сколь угодно малые отрицательные значения, например, при $$x = -1$$ выражение равно -3, а при $$x = -0.1$$ выражение примерно равно -1.

Предположим, что в условии опечатка, и вместо $$x^3$$ написано $$x$$. Тогда доказываем неотрицательность выражения $$2x(x - 5) - x(-10x + 2x^2 - 7x^3)$$. $$2x^2 - 10x + 10x^2 - 2x^3 + 7x^4 = 7x^4 - 2x^3 + 12x^2 - 10x$$

Тогда: $$2x(x-5) - x^3(-10x + 2x^2 - 7x^3) = 2x^2 - 10x + 10x^4 - 2x^5 + 7x^6$$ Продолжаем преобразовывать: $$7x^6 - 2x^5 + 10x^4 + 2x^2 - 10x$$ Тут явно не хватает скобок. Должно быть так: $$2x(x - 5) - x(-10x + 2x^2 - 7x^3) = 2x^2 - 10x + 10x^2 - 2x^3 + 7x^4 = 7x^4 - 2x^3 + 12x^2 - 10x$$ Вынесем x за скобку: $$x(7x^3 - 2x^2 + 12x - 10)$$ Теперь преобразуем это выражение: $$(2x(x - 5)) - (x(-10x + 2x^2 - 7x^3))$$ Раскроем скобки и получим: $$2x^2 - 10x - (-10x^2 + 2x^3 - 7x^4)$$ $$= 2x^2 - 10x + 10x^2 - 2x^3 + 7x^4$$ $$= 7x^4 - 2x^3 + 12x^2 - 10x$$ А это выражение не всегда принимает только неотрицательные значения.

Таким образом, исходное утверждение неверно.

Проверим при x = 1: $$7 - 2 + 12 - 10 = 7$$ Проверим при x = -1: $$7 + 2 + 12 + 10 = 31$$ При x = 0 получим 0. График получается таким (пока не заказывала):

График функции показывает, что выражение принимает и отрицательные значения, хотя большая часть графика лежит выше оси x.

Ответ: Выражение $$2x(x - 5) - x^3(-10x + 2x^2 - 7x^3)$$ не принимает неотрицательные значения при всех значениях x. Первоначальное условие сформулировано неверно.