4. Докажите, что значение выражения: а) 87 – 218 кратно 4; б) 106 – 57 кратно 59; в) 97 + 312 кратно 90; г) 810 – 227 кратно 14.

а) Докажите, что значение выражения 8⁷ – 2¹⁸ кратно 4.

Представим 8⁷ как (2³)⁷, тогда:

$$8^7 - 2^{18} = (2^3)^7 - 2^{18} = 2^{21} - 2^{18}$$

Вынесем общий множитель 2¹⁸ за скобки:

$$2^{21} - 2^{18} = 2^{18} \cdot (2^3 - 1) = 2^{18} \cdot (8 - 1) = 2^{18} \cdot 7 = 2^{16} \cdot 2^2 \cdot 7 = 2^{16} \cdot 4 \cdot 7 = 2^{16} \cdot 28$$

Так как один из множителей делится на 4, то и произведение делится на 4, что и требовалось доказать.

б) Докажите, что значение выражения 10⁶ – 5⁷ кратно 59.

Представим 10⁶ как (2 ∙ 5)⁶, тогда:

$$10^6 - 5^7 = (2 \cdot 5)^6 - 5^7 = 2^6 \cdot 5^6 - 5^7$$

Вынесем общий множитель 5⁶ за скобки:

$$2^6 \cdot 5^6 - 5^7 = 5^6 \cdot (2^6 - 5) = 5^6 \cdot (64 - 5) = 5^6 \cdot 59$$

Так как один из множителей делится на 59, то и произведение делится на 59, что и требовалось доказать.

в) Докажите, что значение выражения 9⁷ + 3¹² кратно 90.

Представим 9⁷ как (3²)⁷, тогда:

$$9^7 + 3^{12} = (3^2)^7 + 3^{12} = 3^{14} + 3^{12}$$

Вынесем общий множитель 3¹² за скобки:

$$3^{14} + 3^{12} = 3^{12} \cdot (3^2 + 1) = 3^{12} \cdot (9 + 1) = 3^{12} \cdot 10 = 3^{10} \cdot 3^2 \cdot 10 = 3^{10} \cdot 9 \cdot 10 = 3^{10} \cdot 90$$

Так как один из множителей делится на 90, то и произведение делится на 90, что и требовалось доказать.

г) Докажите, что значение выражения 8¹⁰ – 2²⁷ кратно 14.

Представим 8¹⁰ как (2³)¹⁰, тогда:

$$8^{10} - 2^{27} = (2^3)^{10} - 2^{27} = 2^{30} - 2^{27}$$

Вынесем общий множитель 2²⁷ за скобки:

$$2^{30} - 2^{27} = 2^{27} \cdot (2^3 - 1) = 2^{27} \cdot (8 - 1) = 2^{27} \cdot 7 = 2^{26} \cdot 2 \cdot 7 = 2^{26} \cdot 14$$

Так как один из множителей делится на 14, то и произведение делится на 14, что и требовалось доказать.