3. Докажите, что значение выражения: а) 176 + 175 кратно 18; б) 428 + 427 кратно 43; в) 317 + 315 кратно 30; г) 223 + 220 кратно 72.

а) Докажите, что значение выражения 17⁶ + 17⁵ кратно 18.

Вынесем общий множитель 17⁵ за скобки:

$$17^6 + 17^5 = 17^5 \cdot (17 + 1) = 17^5 \cdot 18$$

Так как один из множителей делится на 18, то и произведение делится на 18, что и требовалось доказать.

б) Докажите, что значение выражения 42⁸ + 42⁷ кратно 43.

Вынесем общий множитель 42⁷ за скобки:

$$42^8 + 42^7 = 42^7 \cdot (42 + 1) = 42^7 \cdot 43$$

Так как один из множителей делится на 43, то и произведение делится на 43, что и требовалось доказать.

в) Докажите, что значение выражения 3¹⁷ + 3¹⁵ кратно 30.

Вынесем общий множитель 3¹⁵ за скобки:

$$3^{17} + 3^{15} = 3^{15} \cdot (3^2 + 1) = 3^{15} \cdot (9 + 1) = 3^{15} \cdot 10$$

Представим 3¹⁵ как 3¹⁴ ∙ 3:

$$3^{15} \cdot 10 = 3^{14} \cdot 3 \cdot 10 = 3^{14} \cdot 30$$

Так как один из множителей делится на 30, то и произведение делится на 30, что и требовалось доказать.

г) Докажите, что значение выражения 2²³ + 2²⁰ кратно 72.

Вынесем общий множитель 2²⁰ за скобки:

$$2^{23} + 2^{20} = 2^{20} \cdot (2^3 + 1) = 2^{20} \cdot (8 + 1) = 2^{20} \cdot 9$$

Представим 2²⁰ как 2³ ∙ 2¹⁷:

$$2^{20} \cdot 9 = 2^3 \cdot 2^{17} \cdot 9 = 8 \cdot 2^{17} \cdot 9 = 2^{17} \cdot 72$$

Так как один из множителей делится на 72, то и произведение делится на 72, что и требовалось доказать.