784. Докажите, что: а) 716+ 714 делится на 50; б) 531-529 делится на 100; в) 259 + 517 делится на 30; г) 2710-914 делится на 24; д) 1218 - 1212 + 1211 делится на 7 и на 19; е) 119-118 + 117 делится на 3 и на 37.

а) $$7^{16} + 7^{14}$$ делится на 50.

Вынесем общий множитель за скобки: $$7^{14}(7^2 + 1) = 7^{14}(49 + 1) = 7^{14} \cdot 50$$

Так как один из множителей равен 50, то выражение делится на 50.

б) $$5^{31} - 5^{29}$$ делится на 100.

Вынесем общий множитель за скобки: $$5^{29}(5^2 - 1) = 5^{29}(25 - 1) = 5^{29} \cdot 24 = 5^{27} \cdot 5^2 \cdot 24 = 5^{27} \cdot 25 \cdot 24 = 5^{27} \cdot 600 = 5^{27} \cdot 6 \cdot 100$$

Так как один из множителей равен 100, то выражение делится на 100.

в) $$25^9 + 5^{17}$$ делится на 30.

$$25^9 + 5^{17} = (5^2)^9 + 5^{17} = 5^{18} + 5^{17} = 5^{17}(5 + 1) = 5^{17} \cdot 6 = 5^{16} \cdot 5 \cdot 6 = 5^{16} \cdot 30$$

Так как один из множителей равен 30, то выражение делится на 30.

г) $$27^{10} - 9^{14}$$ делится на 24.

$$27^{10} - 9^{14} = (3^3)^{10} - (3^2)^{14} = 3^{30} - 3^{28} = 3^{28}(3^2 - 1) = 3^{28}(9 - 1) = 3^{28} \cdot 8 = 3^{25} \cdot 3^3 \cdot 8 = 3^{25} \cdot 27 \cdot 8 = 3^{25} \cdot 216 = 3^{25} \cdot 9 \cdot 24$$

Так как один из множителей равен 24, то выражение делится на 24.

д) $$12^{13} - 12^{12} + 12^{11}$$ делится на 7 и на 19.

$$12^{13} - 12^{12} + 12^{11} = 12^{11}(12^2 - 12 + 1) = 12^{11}(144 - 12 + 1) = 12^{11} \cdot 133 = 12^{11} \cdot 7 \cdot 19$$

Так как множителями являются 7 и 19, то выражение делится на 7 и на 19.

е) $$11^9 - 11^8 + 11^7$$ делится на 3 и на 37.

$$11^9 - 11^8 + 11^7 = 11^7(11^2 - 11 + 1) = 11^7(121 - 11 + 1) = 11^7 \cdot 111 = 11^7 \cdot 3 \cdot 37$$

Так как множителями являются 3 и 37, то выражение делится на 3 и на 37.

Ответ: доказано