Докажите неравенства: а) \((x-2)^2>x(x-2)\); б) \(a^2+1\geqslant2(3a-4)\).

а) Перенесём всё в левую часть: \[(x-2)^2-x(x-2)=(x-2)((x-2)-x)=-2(x-2).\] Данное неравенство выполняется не при всех \(x\), а только при \(x<2\), поскольку \(-2(x-2)>0\). При \(x=2\) получается равенство, а при \(x>2\) — неверное неравенство.

б) \[a^2+1-2(3a-4)=a^2-6a+9=(a-3)^2\geqslant0.\] Следовательно, \(a^2+1\geqslant2(3a-4)\), причём равенство достигается при \(a=3\).

Ответ: а) неравенство верно при \(x<2\); б) неравенство доказано.