17. Докажите равенство отрезков $$AK$$ и $$BK$$, изображенных на рисунке, если $$\angle AST = \angle BST$$ и $$\angle ATS = \angle BTS$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ATS$$ и $$\triangle BTS$$. У них: 1. $$TS$$ - общая сторона. 2. $$\angle AST = \angle BST$$ (по условию). 3. $$\angle ATS = \angle BTS$$ (по условию). Следовательно, $$\triangle ATS = \triangle BTS$$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что $$AT = BT$$ и $$AS = BS$$. Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle ATK$$ и $$\triangle BTK$$. У них: 1. $$AT = BT$$ (доказано выше). 2. $$\angle ATK = \angle BTK$$ (так как $$\angle ATS = \angle BTS$$ и точки $$K$$ лежат на соответствующих сторонах). 3. $$TK$$ - общая сторона. Следовательно, $$\triangle ATK = \triangle BTK$$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует, что $$AK = BK$$. **Ч.Т.Д.**