5. Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла.

Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁, где ∠C = 90° и ∠C₁ = 90°, ∠A = ∠A₁, и проведены биссектрисы AD и A₁D₁ соответственно, такие что AD = A₁D₁. 1. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. 2. По условию, ∠A = ∠A₁ и AD = A₁D₁. 3. Так как AD и A₁D₁ - биссектрисы, то ∠CAD = ∠A/2 = ∠A₁/2 = ∠C₁A₁D₁. 4. Рассмотрим треугольники ACD и A₁C₁D₁: AD = A₁D₁ (по условию), ∠CAD = ∠C₁A₁D₁ (как половины равных углов), ∠C = ∠C₁ = 90° (по условию). 5. Следовательно, треугольники ACD и A₁C₁D₁ равны по гипотенузе и острому углу. 6. Из равенства треугольников ACD и A₁C₁D₁ следует, что AC = A₁C₁. 7. Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁. 8. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету и прилежащему острому углу. Что и требовалось доказать.