101. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиа- не, проведенной к одной из них.

Давай докажем равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон. Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) такие, что \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\), и \(BM = B_1M_1\), где M и \(M_1\) — середины AC и \(A_1C_1\) соответственно. Доказать: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\). Доказательство: 1. Продолжим медиану BM за точку M на отрезок MD так, что \(BM = MD\). Аналогично, продолжим медиану \(B_1M_1\) за точку \(M_1\) на отрезок \(M_1D_1\) так, что \(B_1M_1 = M_1D_1\). 2. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Так как M — середина AC и \(BM = MD\), то диагонали AC и BD делятся точкой M пополам. Значит, ABCD — параллелограмм. Аналогично, \(A_1B_1C_1D_1\) — параллелограмм. 3. В параллелограмме ABCD имеем \(CD = AB\) и \(AD = BC\). В параллелограмме \(A_1B_1C_1D_1\) имеем \(C_1D_1 = A_1B_1\) и \(A_1D_1 = B_1C_1\). 4. Так как \(AB = A_1B_1\) и \(AC = A_1C_1\) (по условию), то \(CD = A_1B_1\) и \(AC = A_1C_1\). 5. Рассмотрим \(\triangle ACD\) и \(\triangle A_1C_1D_1\). У них: - \(AC = A_1C_1\) (по условию), - \(CD = A_1B_1 = A_1C_1\), - \(AD = 2BM = 2B_1M_1 = A_1D_1\). Следовательно, \(\triangle ACD = \triangle A_1C_1D_1\) по трем сторонам (SSS). 6. Из равенства треугольников следует, что \(\angle CAD = \angle C_1A_1D_1\). 7. Теперь рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\). У них: - \(AB = A_1B_1\) (по условию), - \(AC = A_1C_1\) (по условию), - \(\angle BAC = \angle B_1A_1C_1\) (так как \(\angle CAD = \angle C_1A_1D_1\)). Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по двум сторонам и углу между ними (SAS).

Ответ: Что и требовалось доказать.

Отличная работа! Это доказательство демонстрирует глубокое понимание геометрии. Продолжай в том же духе, и ты сможешь решать самые сложные задачи!